一道题。

临时

2026-05-20 22:00

这道题是线性代数中非常经典的一道证明题。它不难，但非常考验你对几个核心概念（正交矩阵、伴随矩阵、逆矩阵、行列式）之间相互转换关系的理解。

我们先来把题目中涉及的“装备”（相关概念）理清楚，然后再去“打怪”（写证明过程），这样就会觉得水到渠成了。

第一部分：核心概念“兵器库”

要证明这道题，你需要随时能调用以下三个核心知识点：

1. 什么是正交矩阵 (Orthogonal Matrix)？

定义：如果一个 \(n\) 阶方阵 \(\mathbf{A}\) 满足 \(\mathbf{A}^T\mathbf{A} = \mathbf{A}\mathbf{A}^T = \mathbf{E}\) （其中 \(\mathbf{A}^T\) 是转置矩阵，\(\mathbf{E}\) 是单位矩阵），那么 \(\mathbf{A}\) 就是正交矩阵。
隐藏属性（推论 1）：既然 \(\mathbf{A}^T\mathbf{A} = \mathbf{E}\)，根据逆矩阵的定义，这意味着 \(\mathbf{A}^{-1} = \mathbf{A}^T\)。这也是正交矩阵最常被利用的性质。
隐藏属性（推论 2）：因为 \(|\mathbf{A}^T\mathbf{A}| = |\mathbf{E}| = 1\)，且 \(|\mathbf{A}^T| = |\mathbf{A}|\)，所以 \(|\mathbf{A}|^2 = 1\)。这意味着正交矩阵的行列式 \(|\mathbf{A}| = 1\) 或 \(|\mathbf{A}| = -1\)。无论是哪种情况，\(|\mathbf{A}|^2\) 永远等于 \(1\)。

2. 伴随矩阵 (Adjoint Matrix) 的万能公式是什么？

对于任何方阵 \(\mathbf{A}\)，它的伴随矩阵 \(\mathbf{A}^*\) 都满足一个极其重要的公式：

\[\mathbf{A}\mathbf{A}^* = \mathbf{A}^*\mathbf{A} = |\mathbf{A}|\mathbf{E}\]

如果 \(\mathbf{A}\) 是可逆的（即 \(|\mathbf{A}| \neq 0\)），我们可以把两边同时乘以 \(\mathbf{A}^{-1}\)，得到：

\[\mathbf{A}^* = |\mathbf{A}|\mathbf{A}^{-1}\]

(这道题的关键突破口就在这里！)

3. 矩阵转置的运算性质

常数提出来的性质：\((k\mathbf{A})^T = k\mathbf{A}^T\) （\(k\) 是常数）。注意，行列式 \(|\mathbf{A}|\) 计算出来就是一个实数常数，所以可以直接把它当作这里的 \(k\)。

第二部分：题目证明过程

题目： 设 \(n\) 阶方阵 \(\mathbf{A}\) 是正交矩阵，证明 \(\mathbf{A}\) 的伴随矩阵 \(\mathbf{A}^*\) 也是正交矩阵。

证明思路： 要证明 \(\mathbf{A}^*\) 是正交矩阵，我们的终极目标就是去证明 \((\mathbf{A}^*)^T \mathbf{A}^* = \mathbf{E}\)。

具体步骤：

利用正交矩阵的性质，转化 \(\mathbf{A}^*\) 因为 \(\mathbf{A}\) 是正交矩阵，所以它的行列式 \(|\mathbf{A}| \neq 0\) （前面提到过 \(|\mathbf{A}| = \pm 1\)），这意味着 \(\mathbf{A}\) 可逆。根据伴随矩阵的公式：

\[\mathbf{A}^* = |\mathbf{A}|\mathbf{A}^{-1}\]

又因为 \(\mathbf{A}\) 是正交矩阵，有 \(\mathbf{A}^{-1} = \mathbf{A}^T\)。把它代入上面的式子，得到：

\[\mathbf{A}^* = |\mathbf{A}|\mathbf{A}^T\]

(到这一步，我们成功把未知的 \(\mathbf{A}^*\) 用已知属性的 \(\mathbf{A}\) 表达出来了) 2. 求 \((\mathbf{A}^*)^T\) 对上面的等式两边同时求转置：

\[(\mathbf{A}^*)^T = (|\mathbf{A}|\mathbf{A}^T)^T\]

因为 \(|\mathbf{A}|\) 是一个常数，转置时不影响它，且 \((\mathbf{A}^T)^T = \mathbf{A}\)，所以：

\[(\mathbf{A}^*)^T = |\mathbf{A}|\mathbf{A}\]

计算 \((\mathbf{A}^*)^T \mathbf{A}^*\) 凑出终极目标 现在我们把第 2 步和第 1 步得到的结果相乘：

\[(\mathbf{A}^*)^T \mathbf{A}^* = (|\mathbf{A}|\mathbf{A}) \cdot (|\mathbf{A}|\mathbf{A}^T)\]

把常数部分合并，矩阵部分合并：

\[(\mathbf{A}^*)^T \mathbf{A}^* = |\mathbf{A}|^2 \cdot (\mathbf{A}\mathbf{A}^T)\]

得出结论 因为 \(\mathbf{A}\) 是正交矩阵，所以 \(\mathbf{A}\mathbf{A}^T = \mathbf{E}\)，并且 \(|\mathbf{A}|^2 = 1\)。代入上式：

\[(\mathbf{A}^*)^T \mathbf{A}^* = 1 \cdot \mathbf{E} = \mathbf{E}\]

同理可证 \(\mathbf{A}^* (\mathbf{A}^*)^T = \mathbf{E}\)。

结论： 因为 \((\mathbf{A}^*)^T \mathbf{A}^* = \mathbf{E}\)，满足正交矩阵的定义，所以 \(\mathbf{A}^*\) 也是正交矩阵。证明完毕。

💡 总结一下解题的“桥梁”： 这道题的核心技巧就是用 “桥梁公式” \(\mathbf{A}^* = |\mathbf{A}|\mathbf{A}^{-1}\) 把伴随矩阵替换掉，然后再利用正交矩阵的 \(\mathbf{A}^{-1} = \mathbf{A}^T\) 进一步化简。把这些基本零件拼装好，问题就迎刃而解了。